Andei estudando as equações do relé SEL para zonas quadrilateral. Não entendi da onde vem tais equações. No entanto observei alguns pontos de incoerência nas equações. Também analisei uma equação enviada pela SEL numa planilha de excel. Tanto a equação da planilha como os exemplos no manual da SEL parecem ter alguns erros. Se a idéia era testar sobre um ponto da característica, por exemplo que só existisse X (90 graus) os resultados obtidos com a equação da planilha e dos exemplos mostraram que ao jogar os valores de tensões correntes obtidos nas duas equações para tais condições, apareceu um valor em R, que não deveria aparecer. Se estou considerando algo errado, peço que alguém me ajude. Elaborei minhas dúvidas e conclusões para que possam analisar. Segue abaixo:
Logo no final, encontrei um forma de calcular que deu certo. Os níveis de tensão e correntes calculados por ela permite voltar aos valores de R e X jogando de volta nas equações. No entanto se considerei algo errado elas não estarão corretas. Se alguém poder me ajudar, aguardo respostas.
Para zona quadrilateral do relé SEL, as equações gerais p/ o cálculo de R e X, no manual da SEL são:
Eq. 13.82: R = Im(V.((I + k0.Ir).1|Z1ANG)*) / Im[(1,5.(I2 + I0).(I + K0.Ir).1|Z1ANG)*]
Eq. 13.66: X = Im(V.(Ir.1|T)*) / Im(1|Z1ANG.(I + K0.Ir).(Ir.1|T)*)
Nos testes, considerando Ir = I, podemos trabalhar com as equação simplificada mostrada no manual da SEL, onde:
Eq. 13.83: R = Im(V.(I.(1 + k0).1|Z1ANG)*) / Im[I.(I.(1 + K0).1|Z1ANG)*]
Eq. 13.67: X = Im(V.(I.1|T)*) / Im(1|Z1ANG.(1 + K0).I.(I.1|T)*)
Para chegar a equação simplificado foi considerado que: I2 = I/3 e I0 = I/3
neste caso e parte da equação: 1,5.(I2 + I0) = 1,5.(I/3 + I/3) = I
até aqui tudo bem, mas porque a equação simplificada tirou o I com conjugado ?
Note que o denominador de R era: Im[(1,5.(I2 + I0).(I + K0.Ir).1|Z1ANG)*]
onde o conjugado pegava toda a equação. Sendo assim, substituindo 1,5.(I2 + I0) por I,
deveria ficar:
Im[(I.(I + K0.Ir).1|Z1ANG)*] que simplif. p/ Ir = I: Im[(I.I.(1 + K0).1|Z1ANG)*]
e não:
Im[I.((I + K0.Ir).1|Z1ANG)*] que simplif. p/ Ir = I: Im[I.(I.(1 + K0).1|Z1ANG)*]
Parece ter um erro ai.
Considerando no entanto as equações simplificadas, usadas nos exemplos do manual SEL. Pela equação de X (Eq. 13.67), p/:
V = v|0
I = i|AngI
1 + K0 = K0MC|K0AC
X = v.i. Im((1|(T + AngI))*) / i.i.K0MC . Im(1|(Z1ANG + AngI + K0AC).(1|(T + AngI))*)
p/ facilitar:
T + AngI = ALFA
Z1ANG + AngI + K0AC = BETA
Reescrevendo:
X = v. Im((1|ALFA)*) / i.K0MC . Im(1|BETA.(1|ALFA)*)
1|ALFA = cos(ALFA) + sen(ALFA).j
(1|ALFA)* = cos(ALFA) - sen(ALFA).j
Im((1|ALFA)*) = - sen(ALFA)
1|BETA = cos(BETA) + sen(BETA).j
X = -Sen(ALFA).v / K0MC.i . Im[(cos(BETA) + sen(BETA).j).(cos(ALFA) - sen(ALFA).j)]
(cos(BETA) + sen(BETA).j).(cos(ALFA) - sen(ALFA).j) = ...
... cos(BETA).cos(ALFA) + sen(BETA).cos(ALFA).j - cos(BETA).sen(ALFA).j + sen(BETA).sen(ALFA)
Im[(cos(BETA) + sen(BETA).j).(cos(ALFA) - sen(ALFA).j)] = sen(BETA).cos(ALFA) - cos(BETA).sen(ALFA)
Ainda, da trigonometria:
sen(BETA).cos(ALFA) - cos(BETA).sen(ALFA) = sen(ALFA - BETA)
Assim:
X = -Sen(ALFA).v / K0MC.i . sen(ALFA - BETA)
Isolando v, temos:
v = X.K0MC.i . sen(ALFA - BETA) / -sen(ALFA)
FINALMENTE:
v = X.K0MC.i . sen(T + AngI - Z1ANG - AngI - K0AC) / -sen(T + AngI)
v = X.K0MC.i . sen(T - Z1ANG - K0AC) / -sen(T + AngI)
Esta é a equação que eu encontrei simplifando a equação 13.67 do manual da SEL.
No entanto a SEL nos envio numa planilha de Excel a seguinte equação para o cálculo de v:
v = XG.K0MC.i . ABS(sen(Z1ANG + K0AC - T)) / ABS(sen( - T - AngI)
onde adotou, AngI = -AngTst - K0AC
Analizando esta equação:
Os valores ABS não deveria ocorrer, talves foi colocado pelo fato da parte de cima não estar correta, da forma que foi colocada ela daria -sen(T - Z1ANG - K0AC), que é o que foi achado na simplificação (lembrando que Sen(-x) = -sen(x))
Um outro ponto de um possível erro a ser considerado e usar no lugar do X, o XG da caracteristica, onde na veradade só poderia ser assim p/ T = 0
p/ T = 0, não inclinação da reta que corta o eixo X
....|
XG|-r-e-t-a- X,R ... Assim: X = XG
....|............../
....|............/
....|........../
....|......../
....|....../
....|..../
....|../
....|/___________
p/ T <> 0, a inclinação torna X <> XG
...................(R,X) ... onde: X = XG.Tan(AngZTst) / Tan(AngZTst) - Tan(T)
....|..........a'/
....|.......t'../
....|...e'..../
....|r'_)T_/
XG|....../
....|..../
....|../
....|/_) AngZTst _
O outro erro, agora observados no manual da SEL consiste em dizer que AngI = -AngZtst, para o angulo de V = 0
A impedancia V/I representa uma impedância total, e geralmente os parâmetros da caracteristica representa a impedância da Linha apenas. Pelo menos é assim nos cálculos normais envolvendo K0, onde:
V = ZL.I + ZE.Ir
V = ZL.I + K0.ZE.Ir p/ Ir = I
V = ZL.I.(1 + K0)
Neste casos ZTst represente apenas a parcela da linha, e para definir tensoes e corrente para o Ztst temos:
V = ZTst.I.(1 + K0)
V/I = ZTst.(1 + K0)
Note que se o K0 tem ângulos diferentes de zero, o ângulo de ZTst é diferente do ângulo de V/I
Portanto se quer achar por exemplo as tensões e correntes para um local na característica onde ZTst = Z|30, não podemos fichar I em -30 graus e considerar V em 0.
Os exemplos fazem isso, tal com na página 13.47
Com as tensões e correntes em V = 40|0, I = 2,49|-90, K0 = 0,726|-3,69 e Z1ANG = 83,97
jogando normalmente nas duas equação:
R = -2,14
X = 9,39
Assim, para esses valores de tensão e corrente, não estariamos em cima de XG na característica, pois R <> 0
No cálculo do manual da SEL parece forçar o resultado. Começa dizendo que tensão seria de 40,4 e usa 40, e na equação 13.71 X aparece com 9,36 que era inicialmente o valor fixado, lado abaixo na Eq 13.72 aparece o valor 9.39
Comparando agora com a equação da planilha enviada pela SEL
v = X.K0MC.i . ABS(sen(Z1ANG + K0AC - T)) / ABS(sen( - T - AngI)
Supondo por exemplo T = 0, XG = 9.39, AngZTst = 90
I = 2,49 K0 = 0,726|-3,69 e Z1ANG = 83,97
pela planilha:
V = 40|0
I = 2,49|-88,45
jogando normalmente nas duas equação:
R = -1,7
X = 9,39
Note que tentei testar p/ um AngZTst = 90, no entanto apareceu um valor de R <> 0, mostrando que estou sobre outro ponto da característica.
Creio que a forma correta de se tirar as equação e partir de algo que de forma alguma tente supor um ângulo para o V a partir de I com um ângulo qualquer. Em outras palavras o angulo de V deve ser calculado.
Fiz isto trabalhando com as equação, conforme segue abaixo, e consegui os resultados esperados em ida e volta na equação (NO ENTANTO TRABALHEI COM A EQUAÇÃO SIMPLIFICADA, QUE JÁ PARECIA TER UM ERRO, MOSTRADO INICIALMENTE E QUE SE FOR REALMENTE UM ERRO ELA DEVERÁ AINDA SER CORRIGIDA)
XAG = Im(Va.(Ir.1|T)*) / Im(1|Z1ANG.(Ia + K0.Ir).(Ir.1|T)*)
RAG = Im(Va((Ia + K0.Ir).1|Z1ANG)*) / Im[(1,5.(Ia2 + Ia0).(Ia + K0.Ir).1|Z1ANG)*]
Nas simulações FT, onde Ir = Ia, a equação pode ser simplificada p/:
XAG = Im(Va.(Ia.1|T)*) / Im(1|Z1ANG .(1 + K0).Ia.(Ia.1|T)*)
RAG = Im(Va(Ia.(1 + K0).1|Z1ANG)*) / Im( Ia. (Ia.(1 + K0) . 1|Z1ANG)*)
Nas simulações com I constante (Ia = ia|0), tanto em XAG como Em RAG o denominador pode ser facilmente encontrado.
Ia. (Ia.(1 + K0) . 1|Z1ANG)* = FDenRAG
1|Z1Ang . Ia . (Ia.(1 + K0) . (1|T)* = FDenXAG
A = Imag(FDenRAG) . RAG
B = Imag(FDenXAG) . XAG
(Ia.(1 + K0).1|Z1ANG)* = FIK0IRZ1ANGc
C = real(FIK0IRZ1ANGc)
D = Imag(FIK0IRZ1ANGc)
A = Im(Va . (C + D.j)) => A = Im( (Va.cos(VaAng) + Va.sen(VaAng).j) . (C + D.j))
A = Im( C.Va.cos(VaAng) + C.Va.sen(VaAng).j + D.Va.cos(VaAng).j - D.Va.sen(VaAng) )
A = C.Va.sen(VaAng) + D.Va.cos(VaAng) => Va.cos(VaAng) = (A - C.Va.sen(VaAng)) / D
De forma semelhante:
(Ia.1|T)* = FIRTANGc
E = real(FIRTANGc)
F = imag(FIRTANGc)
B = E.Va.sen(VaAng) + F.Va.cos(VaAng)
Substituindo:
B = E.Va.sen(VaAng) + F.((A - C.Va.sen(VaAng)) / D)
D.B = D.E.Va.sen(VaAng) + F.A - F.C.Va.sen(VaAng)
Va.sen(VaAng) = (D.B - F.A) / (D.E - F.C)
Se tivessemos isolado Va.sen(VaAng) na primeir equação
=> Va.sen(VaAng) = (A - D.Va.cos(VaAng)) / C
Substituindo:
B = E.((A - D.Va.cos(VaAng)) / C ) + F.Va.cos(VaAng)
C.B = E.A - E.D.Va.cos(VaAng) + C.F.Va.cos(VaAng)
Va.cos(VaAng) = (C.B - E.A) / (C.F - E.D) => Va.cos(VaAng) = (E.A - C.B) / (D.E - F.C)
Va.sen(VaAng) / Va.cos(VaAng) = Tang(VaAng)
Tang(VaAng) = (D.B - F.A) / (E.A - C.B)
G = D.B - F.A
H = E.A - C.B
J = D.E - F.C
VaAng = ArcTang(G/H)
Va = H / (J . Cos(VaAng))
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